निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x d x$ ..... $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} \left(\frac{\pi}{2} - x\right) d x$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x d x$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) d x$
चूंकि $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,इसलिए:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d x$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{\pi}{2} - 0$
$2I = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$